二阶系统 PD 校正后在阶跃响应下时域指标的计算

8月 11 2022 (8月 11 2022) 解题约 1k 字

一般形式的计算

基础公式

由图 1 可计算出系统的开环传递函数

$$G (s) = \frac {C (s)}{E (s)} = \frac {K\left (T_{d} s+1\right)}{s\left [s /\left (2 \zeta \omega_{n}\right)+1\right]} \tag {1.1}$$

其中 $K=\frac {\omega _{n} }{2\zeta } $ ，称为开环增益。

令 $z=\frac {1}{T_{d} } $ ，则闭环传递函数为

$$\Phi (s)=\frac {\omega_{n}^{2}}{z} \cdot \frac {s+z}{s^{2}+2 \zeta_{d} \omega_{n} s+\omega_{n}^{2}} \tag {1.2}$$

其中

$$\zeta_{d}=\zeta+\frac {\omega_{n}}{2z} \tag {1.2.1}$$

输入阶跃响应，由式 (1.2) 得

$$C (s)=\frac {\omega_{n}^{2}}{s\left (s^{2}+2 \zeta_{d} \omega_{n} s+\omega_{n}^{2}\right)}+\frac {1}{z} \frac {s \omega_{n}^{2}}{s\left (s^{2}+2 \zeta_{d} \omega_{n} s+\omega_{n}^{2}\right)} \tag {1.3}$$

对式 (1.3) 拉氏反变换，并令 $\zeta_{d} < 1 $ ，得单位阶跃响应

$$c (t)=1+r \mathrm {e}^{-\zeta_{d} \omega_{n} t} \sin \left (\omega_{n} \sqrt {1-\zeta_{d}^{2}} t+\psi\right) \tag {1.4}$$

其中

$$r=\sqrt {z^{2}-2 \zeta_{d} \omega_{n} z+\omega_{n}^{2}} /\left (z \sqrt {1-\zeta_{d}^{2}}\right) \tag {1.5}$$

$$\psi=-\pi+\arctan \left [\omega_{n} \sqrt {1-\zeta_{d}^{2}} /\left (z-\zeta_{d} \omega_{n}\right)\right]+\arctan \left (\sqrt {1-\zeta_{d}^{2}} / \zeta_{d}\right) \tag {1.6}$$

时域指标

由于加了 PD 校正后，系统的闭环传递函数已不是标准型，故无法用标准型的公式计算时域指标。

上升时间：由式 (1.4) 可得，上升时间 $t_{r}$ 是阻尼比 $\zeta_{d}$ 、自然频率 $\omega_{n}$ 和闭环零点值 z 的函数。
峰值时间：
$$t_{p}=\frac {\beta_{d}-\psi}{\omega_{n} \sqrt {1-\zeta_{d}^{2}}} \tag {1.7}$$
式中
$$\beta_{d}=\arctan \left (\sqrt {1-\zeta_{d}^{2}} / \zeta_{d}\right) \tag {1.8}$$
超调量
$$\sigma \%=r \sqrt {1-\zeta_{d}^{2}} \mathrm {e}^{-\zeta_{d} \omega_{n} t_{\rho}} \times 100 \% \tag {1.9}$$
调节时间
取 $\Delta =0.05$ 时，
$$t_{s}=\frac {3+\ln r}{\zeta_{d} \omega_{n}} \tag {1.10}$$
取 $\Delta =0.02$ 时，
$$t_{s}=\frac {4+\ln r}{\zeta_{d} \omega_{n}} \tag {1.11}$$

具体应用实例

图 2 是原电路，需要对其添加 PD 校正调节至给定超调量（例如 16.3%）。

原系统分析

易得原系统开环传递函数为

$$G (s) = \frac {156.25}{s\left ( {s + 5} \right)} \tag {2.1}$$

自然频率 $\omega_{n}$ 和阻尼比 $\zeta_{d}$
$$\left\{\begin {array}{l} \omega_{n}=12.5 \\ \xi=0.2 \end {array}\right. \tag {2.2}$$
上升时间：
$$t_{r}=\frac {\pi-\beta}{\omega_{d}}=\frac {\pi-\arccos \xi}{\omega_{n} \sqrt {1-\xi^{2}}}=\frac {\pi-\arccos 0.2}{12.5 \sqrt {1-0.2^{2}}}=0.144 s \tag {2.3}$$
峰值时间：
$$t_{p}=\frac {\pi}{\omega_{d}}=\frac {\pi}{\omega_{n} \sqrt {1-\xi^{2}}}=\frac {\pi}{12.5 \times \sqrt {1-0.2^{2}}}=0.256 \mathrm {~s} \tag {2.4}$$
超调量
$$\sigma \%=e^{-\frac {\xi \pi}{\sqrt {1-\xi^{2}}}} \times 100 \%=e^{-\frac {0.2 \pi}{\sqrt {1-0.2^{2}}}} \times 100 \%=52.66 \% \tag {2.5}$$
调节时间
$$\left\{\begin {array}{l} t_{s} = \frac {3}{\omega_{n} \xi} = \frac {3}{12.5 \times 0.2} = 1.2 s (\Delta = 5 \%) \\ t_{s} = \frac {4}{\omega_{n} \xi} = \frac {4}{12.5 \times 0.2} = 1.6 s (\Delta = 2 \%) \end {array}\right.\tag {2.6}$$

加 PD 校正

利用 Matlab 通过以上分析公式计算出 $T_{d}$

kx=0.2; % 原系统阻尼比
mpex=0.163; % 期望超调量
wn=12.5; % 原系统自然频率
syms z;
kxex=kx+wn/(2*z); % 见式 (1.2.1)
r=sqrt (z^2-2*kxex*wn*z+wn^2)/(z*sqrt (1-kxex^2)); % 见式 (1.5)
Ps=-3.14+atan ((wn*sqrt (1-kxex^2))/(z-kxex*wn))+atan (sqrt (1-kxex^2)/kxex);% 见式 (1.6)
Bt=atan (sqrt (1-kxex^2)/kxex); % 见式 (1.8)
Tpp=(Bt-Ps)/(wn*sqrt (1-kxex^2)); % 见式 (1.7)
mpp=r*sqrt (1-kxex^2)*exp (-kxex*wn*Tpp); % 见式 (1.9)
eq=mpp-mpex; % 列方程
kd=roundn (double (1/solve (eq)),-4) % 解出未知量 z，可计算出 Td 即 1/z

得出 $T_{d}=0.0604$

设计校正后的电路如图 3：

利用 Matlab 算出校正后系统的仿真超调量

num=[9.4375,156.25];
den=[1,14.4375,156.25];
t=0:0.001:3;
x=step (num,den,t); % 阶跃响应
xss=dcgain (num,den); % 稳定值
% 通过循环找出响应的最大值
j=1;
while x (j)<max (x)
    j=j+1;
end
mp=(max (x)-xss)/xss % 根据超调量定义计算

得出仿真的超调量为 16.28%，在误差允许的范围内符合要求（16.3%）。

资料参考：胡寿松《自动控制原理（第七版）》(P92-95)