#自动控制原理

一般形式的计算

基础公式

图 1 比例 - 微分控制系统结构图

由图 1 可计算出系统的开环传递函数

$$G (s) = \frac {C (s)}{E (s)} = \frac {K\left (T_{d} s+1\right)}{s\left [s /\left (2 \zeta \omega_{n}\right)+1\right]} \tag {1.1}$$

其中 $K=\frac {\omega _{n} }{2\zeta } $ ,称为开环增益。

令 $z=\frac {1}{T_{d} } $ ,则闭环传递函数为

$$\Phi (s)=\frac {\omega_{n}^{2}}{z} \cdot \frac {s+z}{s^{2}+2 \zeta_{d} \omega_{n} s+\omega_{n}^{2}} \tag {1.2}$$

其中

$$\zeta_{d}=\zeta+\frac {\omega_{n}}{2z} \tag {1.2.1}$$

输入阶跃响应,由式 (1.2) 得

$$C (s)=\frac {\omega_{n}^{2}}{s\left (s^{2}+2 \zeta_{d} \omega_{n} s+\omega_{n}^{2}\right)}+\frac {1}{z} \frac {s \omega_{n}^{2}}{s\left (s^{2}+2 \zeta_{d} \omega_{n} s+\omega_{n}^{2}\right)} \tag {1.3}$$

对式 (1.3) 拉氏反变换,并令 $\zeta_{d} < 1 $ ,得单位阶跃响应

$$c (t)=1+r \mathrm {e}^{-\zeta_{d} \omega_{n} t} \sin \left (\omega_{n} \sqrt {1-\zeta_{d}^{2}} t+\psi\right) \tag {1.4}$$

其中

$$r=\sqrt {z^{2}-2 \zeta_{d} \omega_{n} z+\omega_{n}^{2}} /\left (z \sqrt {1-\zeta_{d}^{2}}\right) \tag {1.5}$$

$$\psi=-\pi+\arctan \left [\omega_{n} \sqrt {1-\zeta_{d}^{2}} /\left (z-\zeta_{d} \omega_{n}\right)\right]+\arctan \left (\sqrt {1-\zeta_{d}^{2}} / \zeta_{d}\right) \tag {1.6}$$

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